2017年中南民族大学数学与统计学院858高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出.
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
线性相关，故选D.
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
则A 与B （ ）.
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设n （n ≥3）阶矩阵
所以A 的特征值为3，3，0；而
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时， 5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C.
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
【答案】B 【解析】
方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的.
二、分析计算题
6． 设
与
是数域P 上两个线性无关的n 维向量组，证明：
的维数等于齐次线性方程组
【答案】方程组（3-30）的系数矩阵是解空间W 的维数是
由维数公式，得
的解空间的维数.
未知量的个数为s+t, 因而
这里注意到：向量组
与等价，其秩相等.
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