2017年中国石油大学(北京)理学院865高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以f 为正定的. 2． 设
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
则A 与B （ ）.
D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设
其中A 可逆，则A.
B.
=（ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
5． 设A 是矩阵，
A. 如果B. 如果秩
则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
秩
未知量个数，
二、分析计算题
6． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明
：
【答案】若若当
时总有
其中于是
从而亦有
7． 证明：如果
【答案】由可得
因此根据定理3知
不全为零，且
那么
故
，
可令.
则
于是总存在实数c ，使当
时有
从而