2017年中南大学数学与统计学院883高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
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线性无关.
则线性方程组（ ）•
【答案】D 【解析】 4． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 设
又
求
【答案】根据综合除法，得
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.
胡
7． 设A 是幂零阵，且秩
则当
时，
【答案】A 的特征值为0, A的若当标准形J 的若当是幂零若当块，因而存在可逆阵P ，使
这里
因为
所以
因此有
故
即
8． 设A ，B 分别为m 阶与n 阶方阵. 证明：
，【答案】由以下两个等式两端取行列式即分别得（4）（5）:
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