2017年中南大学数学与统计学院883高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 时， 由AB=0, 用 右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D. 由AB=0，左乘 可得 矛盾，从而否定A ，故选 使AB=0, 则（ ） . 3． 设行列式 为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得 【答案】D 【解析】 5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）. A.AB=BA B. 存在可逆阵P ，使 C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 则线性方程组（ ）• 4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩 二、分析计算题 6． 设V 是复数域上线性空间，其维数 （1）证明V 中有非零向量使 （2）如果f 是非退化的，则必有线性无关的向量胃 是V 上一个对称双线性函数. 满足 【答案】（1）用定理5的推论1，存在V 的一组基 对任意 故 若r=0，则任意（2）若由 取 7． 求A 的全体零化多项式集，其中 有 若r=l， 则 非退化，则（1）中的 . 表示式成为 若 有 【答案】将特征矩阵化为标准形 得A 的最小多项式为 故A 的零化多项式的集合为 最小 多项式有着广泛的用途，例如求矩阵的若当标准形，判定矩阵能否对角化等等. 8． 解线性方程组 其中a , b, c是互不相等的常数. 【答案】设系数行列式为 则