2017年中南大学数学与统计学院883高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解. 则3条直线
（其中
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C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 3． 设
秩
未知量个数，
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 设V 是有限维欧氏空间，内积记为
显然
和
设T 是. 的一个正交变换，记
都是V 的子空间，试证明：
则
因此设
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【答案】先证
于是
即证
其中I 为V 的恒等变换
.
因为
由①，③，④即证
7． 求满足
的所有n 阶方阵A.
若
秩=1.故当n>2时
则
故此时因此，满足
的所有方阵是：零方阵
当n=2时亦可验算
【答案】若A=0，则显然若A 秩=n-l，则由上题知：若A 秩=n，则及适合.
的一切满秩方阵.
8． 把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，数. 判断向量组
【答案】向量组为此，设有若
则有
这里的是互不相同的素
是否线性相关？说明理由.
是线性无关的，可用数学归纳法证之. 使得
当n=l时，结论显然成立；假设结论对于n — 1成立，下证对于n 结论也正确.
这是不可能的. 若
则有
根据归纳假设，
知
就证得：对于任意正整数n , 结论均成立.
9． 计算柯西（Cauchy ）行列式
故向量组
是线性无关的. 这
【答案】将行列式第n 行的-1倍加到其余各行，行提公因子公因子
得
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列提