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一、综合题

1． 设

求

的基与维数, 其中

【答案】

设

得线性方程组

解得

其中则故

2． 设以下

是自由未知量. 取其基础解系为

的生成元为

的基为

, 其维数为2.

n 阶行列式为D. 证明:若n 为奇数，则D=0.再举例指

出，当n 为偶数时存在

【答案】将D 中每行都提出-1, 由于n 为奇数，故

但是当n 为偶数，例如

时有

其实对任意偶数n ，当取

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（但）时，可知，均有

3． 设X 、Y ，是两个n 维向量，A 为n 阶实方阵，证明：

（1）若A 半正定，则（2）若A 正定，则

【答案】 （1）因为A 半正定，故存在正交阵T ，使

令

由柯西公式得

（2）因为A 正定，故存在正交阵T ,

所以

取

则

所以

4． 下图表示一个电路网络，每条线上标出的数字是电阻（单位是欧姆），E 点接地，

由

点通入的电流皆为100安培，求这四点的电位. （用基尔霍夫定律. ）

图

【答案】

点的电位分别为

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（单位是伏特）

5

．

设

A

是n 阶方阵，

且

求

.

（E 是n 阶单位矩阵，A ’是A 的转

置矩阵）

，

【答案】解法1:因为

所以

又因为解法

2

:因为

所以

由于所以

. 所以

6． 求下列n 阶循环矩阵C 的特征值以及属于这些特征值的特征向量:

【答案】有

其中要证明

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