2018年黑龙江大学数学科学学院820高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． 设矩阵
则A 的秩为_____ 【答案】【解析】由
可知秩为
2． 设A , B为3阶矩阵，E 是3阶单位阵，满足
则B=_______ 【答案】【解析】
又因为
3． 设A , B为3阶矩阵，且
【答案】3 【解析】. 又由于所以
，所以
.
，
则
=_____
可逆. 所以
3
已知
4． 设A 是4X3矩阵，且A 的秩
【答案】2 【解析】
是可逆阵，
而则_______
二、选择题
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
D. 不合同不相似
【答案】A
【解析】因为
A ，
B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同. 6． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是不定二次型，故选B.
是（ ）二次型.
, 故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
则
A 与B （ ）.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B. 7． 设均为n 维列向量，A 是
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关
，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关
.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
由上述知线性相关，所以于是
因此线性相关，故选A.
8． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
其中
则PAQ=B
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
三、分析计算题