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2018年河北大学数学与信息科学学院834高等代数与解析几何之高等代数考研仿真模拟五套题

  摘要

一、综合题

1. 设f (X , Y )为定义在数域P 上的n 维线性空间V 上的一个双线性函数, 证明:

可以表示成两个线性函数

积的充分必要条件是f (X , Y )的度量矩阵A 的:【答案】设

在基

下的度量矩阵为

.

则A 可以分解成行矩阵与列矩阵之积, 设

故线性函数

为所求

.

则X , Y的任意性, 知

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是f

的度量矩阵,

故 2.

A 为

2X2矩阵. 证明|:如果

那么

若则设

【答

案】由 则由 3. 设

n

元线性方程组,其中

(1)证明行列式

(2)当a 为何值时,该方程组有唯一解,并求【答案】

(1)证法1记

(3)当a 为何值时,该方程组有无穷多解

,并求通解

.

:

以下用第二数学归纳法证明当当

时,时,

,所以

时结论成立. 按第一行展开得

假设结论对于小于n 的情况成立,将

故证法2

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(2)当式为

时,方程组系数行列式

,故方程组有唯一解,将

第1列换成

b ,得行列

由克莱姆法则,(3)当

时,方程组为

此时有无穷多个解,其通解为

4. 计算

为任意常数.

n 阶行列式

【答案】解法1利用性质化为三角形行列式法. 各行都加到第一行,再从第一行提出余各行,便得

然后再将所得行列式的第一行乘一a 加到其