2018年河北大学数学与信息科学学院834高等代数与解析几何之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、综合题
1. 设f (X , Y )为定义在数域P 上的n 维线性空间V 上的一个双线性函数, 证明:
可以表示成两个线性函数
积的充分必要条件是f (X , Y )的度量矩阵A 的:【答案】设
在基
下的度量矩阵为
.
则A 可以分解成行矩阵与列矩阵之积, 设
则
故线性函数
为所求
.
若
则
则X , Y的任意性, 知
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是f
的度量矩阵,
故 2.
设
A 为
2X2矩阵. 证明|:如果
若
且
那么
若则设
【答
案】由 则由 3. 设
则
故
n
元线性方程组,其中
(1)证明行列式
(2)当a 为何值时,该方程组有唯一解,并求【答案】
(1)证法1记
(3)当a 为何值时,该方程组有无穷多解
,并求通解
.
:
以下用第二数学归纳法证明当当
时,时,
,所以
时结论成立. 按第一行展开得
假设结论对于小于n 的情况成立,将
故证法2
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(2)当式为
时,方程组系数行列式
,故方程组有唯一解,将
第1列换成
b ,得行列
由克莱姆法则,(3)当
时,方程组为
此时有无穷多个解,其通解为
4. 计算
为任意常数.
n 阶行列式
【答案】解法1利用性质化为三角形行列式法. 各行都加到第一行,再从第一行提出余各行,便得
然后再将所得行列式的第一行乘一a 加到其