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一、计算题

1． 设某妇产医院男婴的概率是0.515, 求新生的10000个婴儿中女婴不少于男婴的概率.

【答案】设10000个婴儿中男婴的个数为X , 且

2． 设曲线函数形式为试给出；若不能，说明理由.

【答案】能. 令

则变换后的函数形式为

，问能否找到一个变换将之化为一元线性回归的形式，若能，

. 应用中心极限定理得

3． 有两位化验员A 与B 独立的对一批聚合物含氯量用同样方法各进行10次重复测定，其样本方差分别为0.95置信上限.

【答案】在正态分布下，两样本方差比服从F 分布，具体是

从而有故R 的查表知

置信上限为

，即，现故R 的

, 置信上限为

4． 系统由n 个部件组成. 记

为第i 个部件能持续工作的时间，如果

独立同分布，

且

，

与

若A 与B 的测量值都服从正态分布，求其方差比

的

试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:

（1）如果有一个部件停止工作，系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作. 【答案】因为

所以

的密度函数和分布函数分别为

（1）根据题意，系统持续工作的时间为所以，当这是参数为

时，密度函数的指数分布，所以

而当

时

所以，当

时

（2）根据题意，系统持续工作的时间为

所以系统持续工作的平均时间为

5． 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布, 平均无故障工作的时间开机无故障工作的时间X 的分布函数

为5小

时. 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而在无故障的情况下工作2小时便关机. 试求该设备每次

【答案】根据题意确定随机变量y 的表达式设X 服从参数为的指数分布, 根据题意得到则X 的概率密度为

当

时,

当

时,

当

时,

所以y 的分布函数

6． 若

【答案】因为

，如果A ，B 相互独立，试证:A , B 相容.

，所以

，即A ，B 相容.

7． 设X 与Y 相互独立，分别服从参数为和

【答案】因为

所以

的泊松分布，试求

这说明:

服从二项分布

其中

8． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布

，求的后验分布.

【答案】

根据不合格品率. 的共轭先验可知

，

的后验分布为n=100, x=3, 所以，的后验分布为

.

. 这里

所以

二、证明题

9． 设总体的概率函数证明费希尔信息量

【答案】记，

，则

所以

另一方面，

这就证明了

的费希尔信息量存在，若二阶导数对一切的存在，