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一、证明题

1． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

2． 设总体概率函数是对

的任一估计

令

人们只需要考虑基于充分统计量的估计.

【答案】我们将均方误差作如下分解

注意到

，这说明

于是

因而

3． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,

有

【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有

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是其样本，，证明

:

是的充分统计量，则

. 这说明，在均方误差准则下，

.

.

4． 设是来自的样本，是来自的样本，两总体独立.c ，

d 是任意两个不为0的常数，证明

其中

【答案】由条件有

且

相互独立，故

于是

与分别是两个样本方差.

5．

设

为一事件域，若

试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算

（2）构造一个事件序列由此得（3）因为

. 所以

，由

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【答案】（1）因为为一事件域，所以

，其中

，故其对立事件

.

（4）因为（5）因为.

，所以，所以

，由

，由（3）（有限交）得，

.

6． 证明:对任意常数c , d , 有

）

【答案】

由

得

因而结论成立.

7． 令【答案】

8． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，

证明：其分布函数F （X ）

有

【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知

由

对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.

对称分布函数的这个性质可用图1表示:

，则

，则

表示服从二项分布

的随机变量，试证明:

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