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一、证明题

1． 若

【答案】因为

，证明:

.

•，所以得

由此得

结论得证.

2．

设总体

【答案】令

，则

对上式求导易知，当

时上式达到最小，最小值为

，它小于的均方误差

.

是样本

，的矩估计和最大似然估计都是

它也是的相

合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

3． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

4． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且

有

存在，证明:对任意的 ，

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.

5． 设

（1）

各以

的概率取值且假定与相互独立. 令证明:

（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以（2）因为

且X 与Y 相互独立，所以

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式

考虑到而

6． 设随机变量

【答案】若随机变量而

这就证明了

7． 设二维随机向量

服从二维正态分布，且

故有

所以

证明

则

也服从

从而

即X 与Z 不独立.

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知

所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

这就完成不等式的证明.

8． 设

证明【答案】

诸

是充分统计量. 的联合密度函数为

注意到

是已知常数，令

取

独立，是已知常数，