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一、证明题

1． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为而

所以当

的特征函数为

时，

则

正是泊松分布的特征函数，故得证.

上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.

所以

令

W

的逆变换为

此变换的雅可比行列式为

所以由此得

的联合密度函数为

的边际密度函数为

这表明:

3． 证明:若

服从参数为1的指数分布. 则对

有

的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数

2． 设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:

【答案】因为

其中

若

并由此写出

与

其

中

【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示

为

且U 与V 独立，从而有

由于

将两者代回可知，在

时，若r 为奇数，则

若r 为偶数，则

证明完成. 进一步，当当

4． 设

时，分别是

时，

（此时要求（此时要求

的UMVUE ，

是的UMVUE ，故

于是

►

因此

是

的UMVUE. , 且分布、是

的无偏估计置.

其中分布可知, 是

的无偏估计量

则

又故 即证

是

的无偏估计量.

样本方差分别为

为总体的样本,

5． 设总体X 服从于证明：

【答案】由X 服从又

，且对任意一个

，

，分别是

否则均值不存在）， 否则方差不存在）.

证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足

，由判断准则知

6． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，

样本均值分别为

将两组样本合并，其均值、方差分别为

证明:

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

由

得

7． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:

【答案】由于其中

于是

而

故有

从而

8． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且

有

存在，证明:对任意的

，

方差为与

的相关系数为

为的线性无偏估计量，故

是来自该总体的一个样本，

为的任一

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.

二、计算题