2018年云南农业大学资源与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
是3维线性无关列向量，且
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
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芄中
不
知
故
2．
已知其中E
是四阶单位矩阵是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
3．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
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得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化
. 而
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量
，矩阵
时矩阵
B 只有
1个线性无
只有1个线性无关的解
，
即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵
A
和
B
不相似.
4
． 设三维列向量组线性无关，列向量组
线性无关.
（Ⅰ）证明存在非零列向量
（Ⅱ）
当
【答案】（
Ⅰ）由于
4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关
，故存在一组不
即，
线性无关
，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为
0.
使得可同时由向量组
使得
可同时由向量组
和向量组
线性表示；
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为_意非零常数.
因此，所有非零列向量
所有非零解_
t 为任
二、计算题
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