2018年云南省培养单位昆明动物研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵A 满足AB=0, 其
中
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
是4阶矩阵，其中
, 证明
是齐次方程组
故秩
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
3．
已知通解是
.
【答案】
由解的结构知
即
时
此时方程组无解.
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
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又由
得
因与
可知综上可知
， 4． 设的所有矩阵.
有
即
故都是
的解. 由
线性无关. 由
是
得的基础解系.
那么
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】
（1
）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
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