2018年云南农业大学园林园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
已知
，求
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
【答案】
令
则且有
1
所以
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3． 设的所有矩阵.
【答案】（
1）对系数矩阵
A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；的所有矩阵为其中为任意常数.
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4．
设矩阵求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
二、计算题
5．
设向量组
【答案】对含参数a 和b
的矩阵
的秩为2, 求a , b.
作初等行变换，以求其行阶梯形
.
于是
6． 设矩阵A 可逆，
证明其伴随阵
【答案】
因
另一方面，
因用A
左乘此式两边得
比较上面两个式子，即知结论成立.
7． 设
也可逆，且知
可逆，
且
证明向量组
与向量组
等价.