2018年云南农业大学资源与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
2． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
矩阵
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是逆
得的基础解系.
那么
其中E 是n 阶单位矩阵.
且A 可对角化，
求行列式
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
使
或1.
3．
已知
二次型的秩为2.
求实数a
的值；
求正交变换x=Qy使得
f 化为标准型
. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B
矩阵的特征值为：当
时，解
得对应的特征向量为
当时，
解得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为：. 令X=Qy, 则
是3维线性无关列向量，且
4． 已知A 是3阶矩阵，
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5．
设矩阵
可相似对角化，求x
【答案】先求A 的特征值
所以
（二重根）
，
（单重根）•
于是A 可相似对角化
A 有3个线性无关的特征向量