2018年云南农业大学资源与环境学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
3．
已知实二次
型的矩阵
A ，满
足且其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy
化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型【答案】（Ⅰ）由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式
.
知矩阵
A 有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j
正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1,
2列线性无关
，
量
，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
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故二次型 4．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明
：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0
有非零解
；
（Ⅱ）A 相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ
）由（Ⅰ）知向量
.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值，
为4的2
重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的
3个
为
4的单重特征值
.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A
为3
阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5． 验证明：与向量线性空间.
【答案】事实上
与
均是
中与向量
不平行的向量，但它们的和
平
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成
行于
即该集合对于向量的加法不封闭，故不构成向量空间.