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一、证明题

1． 证明：若函数，在光滑曲线L

:

. 其中

为的弧长.

存在，且

又因f 在L 上连续，L 为光滑曲线，所以值定理知：

使

令

2． 设f 为定义在界.

【答案】(1) 设f 为定义在

因为f 在

任意的

得，对任意的

即

若

故

而在。有

(2) 当f 为减函数时，同理可证

即

上的增函数

上有上确界. 设使得

当

令

上有上界.

在

时

.

即，

则对

为增函数. 即

存在，设为A ，

对

则对

由f 是增函数可

存在

上有上界，由确界原理可知且对任给的

有

显然

所以

存在的充要条件是f 在

上有上(下)

在

上连续，由积分中

上连续，则存在点

...

使得

【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续，从而曲线积为

上的增(减) 函数. 证明

二、解答题

3． 举例说明：瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛。

故瑕积分

故瑕积分

发散

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收敛，但

4． 求下列函数的高阶导数：

【答案】

由莱布尼茨公式有

5． 将函数

【答案】(1) 将这时

且

即得

(2)

将

且

进行奇开拓，也就是考虑.

|的傅氏展开. 这时

按如下要求展开为傅氏级数：

进行偶开拓，也就是考虑

的傅氏展开.

(1) 按余弦展开；(2) 按正弦展开.

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即得

6． 求下列复合函数的偏导数或导数：

⑴设(2)

设(3)

设⑷设(5)

设(6)

设【答案】(1) 令

则

(5) 由于

所以

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