2017年华北水利水电大学数学与信息科学学院701数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 证明：(1)
(2
)
【答案】(1) 设间为
且y
可在
满足方程
满足方程
故
内任意阶可导，所以
(2)
设
故
具有任意阶导数，由
所以幂级数的收敛区间为
可得
所以又由
得
2． 试用定义
(1) 数列(2) 数列收敛于极限a. (1)
取
，则
知，
当n>l时，
不以1为极限. 因此，
数列
是无界的. 设a 是任意一个实数，取
之外，否则
有界. 故数列
则
中有无穷多个项落在
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从而幂级数
的收敛区
且和函数y
在
证明： 不以1为极限； 发散.
任给
若在
之外数列
丨中的项至多只有有限个，
则称数列于是，数列
中有无穷多个项落在
【答案】定义
之外. 由定义(2) 当n 为偶数时
于是，数列
不收敛于任何一个数，即数列
发散.
二、解答题
3． 利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积：
【答案】(1) 令
从而
(2) 令
则
从而，所求体积
4． 设
【答案】对
取
，指出
可能的间断点为
则当
树，
的所有间断点，并讨论它们的类型.
但
故对
为第二类间断点；
由于
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所以是连续点；
也是连续点；
是连续点，否则为第一类间断点.
类似地讨论可知，对
易知
由此可见，当是完全平方数时，类似可讨论
的情形.
5． （1）设在坐标轴的原点有一质量为m 的质点，在区间匀细杆. 试求质点与细杆之间的万有引力。
上有一质量为M 的均
（2）设有两条各长为1的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离c ，每根细杆的质量为M ，试求它们之间的万有引力. （提示：在第（1）题的基础上再作一次积分. ）
【答案】如图所示，距原点x 处，x 与
之间的质量产生的引力为
故
图
（2）如图所示，在上取一微元
则
与的引力为
故与的引力为
图
6． (1) 设
为正项级数，且
有
. 能否断定能否断定级数
使得
但收敛？
不绝对收敛，但可能条件收敛？(3) 设
发散.
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(2) 对于级数
为收
敛的正项级数，能否存在一个正数
【答案】(1) 不能. 如取(2) 不能. 由题意知
且
. 则
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