2017年华东交通大学理学院821数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：场
【答案】对空间任一点
都有
故A 是有势场。 由
故其势函数为：
2． 证明：若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，g (x ，y ) 在D 上可积且不变号，则存在一点使 得
【答案】不妨设
令M , m分别是f 在D 上的最大、最小值，从而
若若
则由上式
•则必大于0, 于是
由介值性定理，存在
使得
即
于是任取
即可.
是有势场并求其势函数。
二、解答题
3． 利用
⑴（2）
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求下列极限：
（3）（4）（5）【答案】 （1）（2）
；
.
（3）
（4）（5）因此可得：
4． 把函数
展开成傅里叶级数，并由它推出
【答案】函数f 及其周期延拓函数的图像如图所示
.
图
显见f (x ) 在
内按段光滑，由收敛定理，f (x ) 可展开为傅里叶级数，因为
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所以
时
当x=0时，上式的右端收敛到0. (1)
当
时，由于
因此
(2) 因为. 所以
(3
)
时，因
故
所以
5． 设函数
【答案】
构造函数：
可知，
连续且有界。但是
在
时非一致连续.
当
取
令
当n 足够大的时候
出现矛盾，所以原命题成立.
时，
在开区间在
内连续且有界，试讨论内非一致连续.
在
内的一致连续性.
反证法：如果函数一致连续，则对
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