2017年华北水利水电大学数学与信息科学学院701数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
在
上连续，在
使
【答案】(1) 令(2) 将结论中换成即亦即或
由此可见，令
2． 设
是曲面
对
在
上应用罗尔定理即可.
可微，且为n 次齐次函数. 证明：
【答案】由于F 为n 次齐次函数，且_曲面在处的切平面方程为
即
而由式知
故
由
知
曲
面
在
处
的
切
平
面
方
程
为
. 故有
.
对
在
应用根的存在定理即可.
内可导，且
(2) 对任意实
数
必存
在
使
试证：(1
)
的非奇异点，F 在：
此曲面在处的切平面方程为
二、解答题
3． 设导数.
证明：
【答案】
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和都有连续的一阶偏
4． 试作一函数
使当
时，
(1) 两个累次极限存在而重极限不存在； (2) 两个累次极限不存在而重极限存在； (3) 重极限与累次极限都不存在；
(4) 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 【答案】(1) 函数因为
故(2) 函
数
也不存在. 但是
(3)
函数
在.
时，(4) 函数
5． 求下列极限：
【答案】（1）该极限是
型的不定式极限，利用洛必达法则有
（2）该极限是
型的不定式极限，利用洛必达法则有
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满足
不存在，
满
足
不存在. 同
理
满足当
的值在
满足
之间振荡，同理
时，重极限和两个累次极限都不存在，因为
也是一样的.
不存在但是
6． 求曲面方程
的切平面，使其垂直于平面
和
【答案】设曲面在点，：处的切平面垂直于所给两平面，由曲面在点P 。处切平面
知Po 应满足：
解得
故所求切平面为：
7． 质点P 沿着以AB 为直径的圆周，从点A (1，2) 运动到点B (3, 4) 的过程中受变力F 作用，如图所示.F 的大小等于质点P 到原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP 且与y 轴正方向的夹角小于
求变力F 对质点P 所做的功
.
图
【答案】设P 点的坐标为设
由题设，
由题设，
(是尸方向的单位向量) ，故
于是变力F 对质点P 所做的功为
由
于
的方程
为
t 从
到
从而
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则可表示为
所
以的参数方程可表示
为