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一、证明题

1． 证明数列

收敛，因此有公式

式中

577216... 称为尤拉常数，且当

所以

时，.

并利用该公式求极限

【答案】因为

于是有

各式相加得

于是

即所以

下界. 其次

单调递减. 从而数列{xn}收敛，设

即

它的近似值为0.577216，或表示成利用上面的结论知

两式相减得

所以

2． 设

(1) (2)

证明：

【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设

(1) 设(2) 设

右边

则 右边

则

左边. 左边.

二、解答题

3． 设

求证： (1) (2)

存在；

在(0, 0) 点不连续；

同样因f (0, y ) =0, 得

(3) f (x , y ) 在(0, 0) 点可微. 【答案】(1) 因f (x , 0) =0，所以(2) 容易求出

令y=x,

故

在(0，0) 点不连续. 同理可知

在(0, 0) 点不连续. (3) 由于以

按微分定义，函数在(0, 0) 点可微，且df (0, 0) =(0, 0) 或是可微的充分条件，不是必要条件.

4． 求下列函数的全微分：

【答案】

是有界变量，当1时，x 是无穷小量，所

可见偏导数连续

5． 求下列全微分的原函数：

【答案】(1) 因(2) 由于

故原函数为

6． 对积分

进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分：

所确定的区域；

(见图)

.

(1) 当D 为由不等式

故原函数为

图

【答案】

7． 求下列不定积分：