当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 设

求如下行列式

.

【答案】易知

2． 设P 是素数，a 是整数，

【答案】令

则

其中事实上，若而n

否则

即所以

矛盾

. 即

矛盾.

在Q 上不可约. 但g （y ）与

在Q 上有相同的可约性，所

则

且证明：f （x ）没有有理根.

由艾森斯坦因判别法知，

以在有理数域上不可约.

3． 设中元素均为实数，而且至少有一个不是0, 如果D 的每个元素都等于它的代数余子式. 则有

第 2 页，共 33 页

表示D 的转置行列式. 因为D 的每个元素都等于它的代数余子式，所以

【答案】记

因此

又由题设，可不妨设所以

所以

4． 如果A 可逆，证明：AB 与BA 相似.

【答案】

5． 设

求

之值.

故有

所以

故AB 与BA 相似. 因为

【答案】

6． 设T 是W 维空间V 的一个线性变换. 证明：

①若非零子空间W 对T 不变，则可选择V 的基，使T 在此基下的矩阵呈下形：

②T 在某基下的矩阵为对角矩阵【答案】①设W 维于W 对T 不变，从而

且

V 可表为n 个一维不变子空间的直和. 为其一基. 再扩充为V 的一基，设为

均属于W ，从而可由

线性表示，设为

再设

第 3 页，共 33 页

由

于是由上两个等式可知：T 在基②设T 在基

下的矩阵为

下的矩阵呈（1）形.

即

令

则

显然是一维不变子空间且

中任取一个非

反之，设（2）式成立，其中每个都是关于T 的一维不变子空间. 则从每个零向量

设则T 在基

（即

，则的一基）

下的矩阵为

7． 设A , B ，C , D 是数域K 上每两个都可换的n 阶方阵且组ABX=0的解空间V 是AX=0与BX=0的解空间

【答案】由于AB=BA，故由的子空间.

再证

任取

则.

但因为

故

的直和.

是V 的一基，且由于对T 不变，故

证明：n 元齐次线性方程

即

都是V

（a 是n 元列向量）可

且

因此，又若因此，

8． 求齐次线性方程组

并将之扩充为R4的标准正交基.

【答案】将方程组的增广矩阵化为简化阶梯形

方程组的一般解为

这里

第 4 页，共 33 页

即

的解空间（作为R4的子空间）的一组标准正交基，

则由（12）知，

是自由未知量. 取解空间W 的基：先正交化，得