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一、分析计算题

1 设T 是复数域上n 维空间V 的一个线性变换，．且T 在基证明：

①包含的不变子空间只有V ; ②任一非零不变子空间都包含【答案】由于T 在基

下的矩阵为J , 故

①设W 是V 的任一包含的不变子空间（关于T ）, 则由

再由（1）得故②设W 是（关于T 的）任一非零不变子空间且

再设

因为W 对T 不变，故但由⑴得

则于是

故由（2）得

同理，

但

故

且

是关于T 的两个非平凡不变子空间. 则由②知

，

矛盾.

2． 设

求

其中I 为3阶单位阵，【答案】⑴

为A 的转置

③反证法设

若

得

③V 不能分解为两个非平凡不变子空间的直和.

下的矩阵是

（2）

（3）

3． 证明：如果

【答案】设方程组为

它满足则

代入第i 个方程得

故 4 设向量组．明：

【答案】设

易知它与

的极大线性无关组分别为

等价，具有秩

及

由于

皆小于等于

又极

合成向量组

也是一个解.

的秩分别为

证

是一线性方程组的解，那么

）也是一个解.

（其中

中任一无关的向量部分组中向量数小于等于极大线性无关组的向量数，故大线性无关组向量数显然小于等于原向量组中向量数，故

因此

5． 设n 维线性空间V 上的线性变换A —的最小多项式与特征多项式相同. 求证：

为v 的一个基.

【答案】据题设，设的最小多项式与特征多项式同为

则的前

个不变因子为1，1，... ，1, 第n 个不变因子为

容易知道，矩阵

使得

的不变因子也为即

所以存在V 的一个基

使得A 在这个基下的矩阵为A ，

现在4则因此为V 的一个基.

6． 在线性空间中，证明：

（1）k0=0； （2）【（2）

7． 设T 是数域K 上线性空间V 的一个线性变换，称满足关于高为m 的根向量. 证明：

①【答案】①由此可知②任取且

是子空间且对T 不变；

作成子空间显然，因为它就是对

并设

则对任意

有

故W 作成子空间，且由①知对T 不变.

8． 设令

证明：当C=D=0时，可逆【答案】r 是V 的

线性变换，直接验证可知

反证，

若

解，故存在

则

使得

或

于是

答

案

】

（

1

0.

）

的向量为T 的

②T 的关于的一切根向量作成的集合W 作成子空间且对T 不变.

与T 可换，故

对T 也不变.

不变. 但因为

V 关于矩阵加法及数乘构成P 上的线性空间，A , B，C , D为P 上固定的n 阶方阵，

故A , B均可逆，令（恒等变换）故可逆

.

不妨设

则齐次线性方程组这与可逆矛盾.

有非零由（1）知

若

则