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一、选择题

1． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

2． 若

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D

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都是4维列向量，且4阶行列式

【解析】由题设知所以

4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 5． 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解，

则Ax=b的通解为（ ）•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于故

是

因此

线性无关，且都是

知

的解. 是

的特解，因此选B.

所以

因此

不是

的特解，从而否定A , C.但D

是

的基础解系，

为任意常数，

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

的基础解系. 又由

二、分析计算题

6． 设

是关于内积

正交化：易知

于是得正交基：

作成的欧氏空间. 试求其一标准正交基.

【答案】先将基

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再标准化：由于

且

故得

7． 设

的一标准正交基为：

分别为n 元齐次线性方程组

的解空间（A 与B 的行数各为何，不限），

因为若n

元列向量

试给出两个R 元齐次线性方程组使其解空间分别为

【答案】

则

为系数矩阵的n

元齐次线性方程组的解空间是

从而反之，若则得

分别为子空间是

的一个基.

的基. 于是由维数公式知，的维数且

现设P 为以（10）中诸（列）向量为行所得的矩阵，即

则P 是秩为r 的rxn 矩阵，从而PX=0的每个基础解系含n-r 个向量. 现任取其一基础解系，设为

程组QX=0

的每个基础解系均含因而QX=0的解空间就是

个向量，且由上易知（10）是它的一个基础解系，

再令

则Q 是秩为

矩阵. 从而n 元齐次线性方

8． 设V 表示数域P 上2级矩阵全体所构成的线性空间，定义V 的一个变换如下：

（1）证明：是线性变换；（2）求在基

下的矩阵；

（3）求的值域A V ，给出它的维数及一组基； （4）求的核N , 给出N 的维数及一组基. 【答案】（1）令

则

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