2017年武汉大学公共卫生学院873线性代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 计算2n 阶行列式
【答案】解法I 将
的第2n 列加到第1列，第
列加到第2列，…，第n+1列加到第n
列；再从前n 列中都提出x+y, 得
再用乘第角线上元素为
列后依次分别加到第
列，则以上行列式便化成主对
的下三角形行列式，因此，解法II
设
则可从
的前n 行中各提出X ，从后n 行中各提出y ，得
再将此行列式的第角线上元素为
列乘依次分别加到第
列后，便化为主对
的下三角形行列式，因此
当x ，y 中若有零时由原行列式直接知，以上结果仍成立. 2． 设
（1）求满足
（2）对（1）中的任意向量【答案】（1）对矩阵
的所有向量
证明施以初等行变换
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线性无关.
可求得
其中k 为任意常数. 又
对矩阵
施以初等行变换
可求得
其中a ，b 为任意常数. （2）证法1:由（1）知
所以线性无关.
设存在数
使得
证法2:由题设可得等式两端左乘A , 得
即
等式两端再左乘A ，得
即
于是
，得代入式（2）从而
线性无关.
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故将，可得
代入式（1）
3． 证明：子空间的和
【答案】由于因此，若使
设
且
是直和，当且仅当
故
是直和，则由上及（1）知，（2）成立.
不是直和，则表示法不唯一，即存在不全为的向量
则由上得
是直和.
那么f （x ）的根只能是零或单位根.
则
即
是
反之，设（2）成立，但
这与（2）矛盾，故
4． 证明：如果的
f x ）【答案】设a 是（的根，由
根，这就证明了：若a 是f （x ）的根，则都是f （x ）
的根. 由
5． 设A , B为
【答案】于是秩 6． 设
次数有限，则存在
也是f （x ）的根. 重复应用上面的结论，得
于是
故a 只能是零或单位根.
矩阵. 证明：如果
那么即有：
阶方阵组成的集合，设
是分块矩阵，其中&是，一阶单位矩阵，设
其中
表示X 的转置矩阵. 进一步，对任意
设
已知：
（1）求dimB 和B 的一个基. （2）证明：对任意（3）设列向量空间
都有行列式
上的双线性型（-，-）在它的基
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的解，故能由它的基础解系线性表出，
B 的各个列向量都是齐次方程组
基础解系的秩是数域F 上的全体