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一、分析计算题

1． 设是数域K 上n 维空间

【答案】数也是n , 故

即是满射（从而是同构映射）.

②反之，若是满射，而子空间，则

其中

关于

作成K 上线性空间（称为商空间）. 但因为又由为同构映射）•

2． 证明

的维数

维

维数，故

为n 维空间，故维数是0, 从而

的维数也是n.

因此是单射（从而

为同态核，即

的零向量）的全体逆像作成的

的

是单射，则

的一个同态映射（即保持运算的映射）. 证明：

但的维数是n , 从而的n 维子空间. 但的维

的不变因子是【答案】记

其中

则

A 有一个n-l 级子式

因此

从而

所以A 的不变因子是

3． 设

是任意复数，求矩阵

的特征值与特征向量. 【答案】若量.

若

则

于是是B 的n 重特征值, 任意非零列向量都是的特征向

是次数大于零的多项式，令

不全为0, 则多项式

则

4． V 是数域P 上一个3维线性空间，

求

【答案】先计算出

5． 设性无关，则交

是它的一组基，f 是V 上一个线性函数，已知

就得到

其中

的维数等于齐次线性方程组

均为n 元列向量，证明：若此二向量组都线

的解空间的维数. 【答案】由假设知，

维数为S ，

维数为t. 又因为

故由维数公式得

由于（5）是

元线性方程组，又

=方程组（5）系数矩阵的秩，

故由（6）知， 6 设．中任一个•

【答案】对子空间的个数t 归纳.t=2时，

因为

-

如

_

于是：

则

即为所求；又如

果

，使

结合

是非平凡子空间知，

存在不属于同一4

设

互不相同，则如下t 个向量

中至少有一个不属于任何一个

7． 试就实数域和复数域两种情况，求

【答案】令

于是

其中

（1）由式（1-42）知f （x ）在复数域中的标准分解式为

（2）

在实数域中注意到

于是当n 为偶数时其标准分解式为

当n 为奇数时其标准分解式为

维数=（5）的解空间维数.

V 中至少有一个向量不属于，是线性空间V 的t 个非平凡子空间证明：

是V 的非平凡子空间，

所以存在

，

则

为所求，否则，便

设对t-1个非平凡子空间结论成立，即V 中有对第t

个子空间

于

是对任意数k ，有（否则，

且对不同的

则命题已证.

而如果

中，再结合命题得证. 的标准分解式.