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一、计算题

1． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?

【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故

令当

, 得

时,

, 故V 在

内单调增加; 当

为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。

时,

, 故V

在

, 又

内单调减少。因此

也是最大值点, 即当

取

图

2． 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续:

（1）（2）（3）（4）

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【答案】（1）对x=1，因为f （1）无定义，但

，重新定义函数:

所以x=l为第一类间断点（可去间断点）

则f l （x ）在x=1处连续。 因为

，所以x=2为第二类间断点（无穷间断点）.

，所以x=0为第一类间断点（可去间断

（2）对x=o，因为f （0）无定义，，重新定义函数:

点）

则f 2（x ）在（3）对x=0，因为（4）对x=1，因为

但不相等，所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）。

注：在讨论分段函数的连续性时，在函数的分段点处，必须分别考虑函数的左连续性和右连续性，只有函数在该点既左连续，又右连续，才能得出函数在该点连续。

3． 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x+y=2，y=x和x 轴所围成，它的面密

度

，求该薄片的质量.

【答案】D 如图1所示. 所求薄片的质量

处连续。 及

均不存在，所以x=0作为第二类间断点。

即左、右极限存在，

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图1

4． 已知一组实验数据为

。现若假定经验公式是

试按最小二乘法建立a ，b ，c 应满足的三元一次方程组。 【答案】设M 是各个数据的偏差平方和，即

令

整理，得a ，b ，c 应满足的三元一次方程组如下

5． 求下列方程所确定的隐函数的导数

（1）（2）（3）

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。