2017年北京师范大学数学科学学院601专业基础(数学分析85分、高等代数65分)之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 讨论函数
【答案】而
故又
故函数f （x ）在x=0处连续。
2． 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x ，y ）处它的线密度为（x ，y ）. 用对弧长的曲线积分分别表达:
（1）这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x ，I y ； （2）这曲线弧的质心坐标
。
，【答案】（l ）设想将L 分成n 个小弧段，取出其中任意一段记作ds （其长度也记作ds ）（x ，y ）为ds 上一点，则ds 对x 轴和对y 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的转动惯量
（2）ds 对x 轴和对y 轴的静矩近似等于
以此作为静矩元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的静矩
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在点x=0处的连续性。
从而L 的质心坐标为
3． 已
知
【答案】设代入方程并整理，得不妨取u=x, 则
则它的通解为
其中
f=2x
故
4． 求下列函数的自然定义域:
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是齐次线性方
程的通解。
是非齐次线性方程的解，则
的一个解，求非齐次线性方
程
且y 2与y 1线性无关，将非齐次方程化为标准形
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
即定义域为且即定义域为且
且
即定义域为
即定义域为
即定义域为
即定义域为即定义域为即定义域为
即定义域为
且
即定义域为
注:本题是求函数的自然定义域，一般方法是先写出构成所求函数的各个简单函数的定义域，再求出这些定义域的交集，即得所求定义域. 下列简单函数及其定义域是经常用到的:
5． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.
【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）
3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为 3x －7y ＋5z －4=0
6． 求下列函数在给定点处的导数：
（1）（2）（3）【答案】（1）
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，求，求
和。
；
，求f ’（0）和f ’（2）。