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一、计算题

1． 甲、乙、丙三个城市每年需要煤炭分别为:320、250、350万吨，由A 、B 两处煤矿负责供应。已知煤 炭的年供应量分别为:A —400万吨，B 一450万吨。由煤矿至各城市的单位运价（万元/万吨）见表1。由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0~30万吨，乙城市需求量应全满足，丙城市供应量不少于270 万吨。试求将供应量分配完又使总运费为最低的调运方案。

表

1

【答案】甲、乙、丙三个城市每年的煤炭总需求量为:320+250+350=920（万吨），A 、B 两处煤矿年煤炭总供应量 为850万吨。可见供少于需，故虚拟一个产地煤矿C ，其供应量为70万吨，由题意可构造如表2的运价表。 问题变为求解表2的最优调运方案。

表

2

第一步:用伏格尔法求初始可行解，求得的初始解，如表3科所示。

表

3

第二步: 用位势法进行最优解的判断。在对应于表3的数字格处填入单位运价，并增加一行一列，在行中填入vj ，在列中填入

并依据。令u 1=0，按照表

4 求出所有的和vj ，计算所有空格处的检验数，计算结果如表4所示。

由表4可知，所有空格处的检验数均为非负。所以，表3中的运输方案即为此问题的最优调运方案， 最小运价为14650万元。

2． 某投资者，若投资项目A ，一年后肯定获得收益C ; 若投资项目B ，一年后收益不确定，收益为C 1的概率为P ，收益为C 2的概率为1一P 。在c 1

【答案】投资项目A 的期望收益为C

投资项目B 的收益为

若选择投资项目A , 则

所以。

, 即。 , 变形得, 又由于, 同理，若选择项目B ，则

所以, 当

当

当时选择项目B 时选择项目A 或项目B 之一均可以。 时选择项目A 。

3． 用破圈法和避圈法求下图的一个支撑树。

【答案】（l ）用破圈法求解，求解过程如下。

①取圈（v 1，v 2，v 3），去掉其中一条边，如e 2=[v1，v 3];

②取圈（v 1，v 2，v 5），去掉其中一条边，如e 7=[v1，v 5];

③取圈（v 2，v 3，v 4），去掉其中一条边，如e 3=[v2，v 3];

④取圈（v 2，v 4，v 5），去掉其中一条边，如e 5=[v2，v 5];

⑤取圈（v 4，v 5，v 6），去掉其中一条边，如e 10=[v5，v 6];

⑥取圈（v 8，v 9，v 10），去掉其中一条边，如e 15=[v8，v 10]. 这时，剩余的图中不含圈，即得到了一个支撑树，如图所示。

图

（2）用避圈法求解，求解过程如下:

①在图中，任取一条边e 1，找一条与e 1不构成圈的边e 4;

②找一条与{el ，e 4}不构成圈的边e 6;

③找一条与{el ，e 4，e 6}不构成圈的边e 8;

④找一条与{el ，e 4，e 6，e 8}不构成圈的边e 9;

⑤找一条与毛{el ，e 4，e 6，e 8，e 9}不构成圈的边e 11;

⑥找一条与{el ，e 4，e 6，e 8，e 9，e 11}不构成圈的边e 12;

⑦找一条与{el ，e 4，e 6，e 8，e 9，e 11，e 12}不构成圈的边e 13;

⑧找一条与{el ，e 4，e 6，e 8，e 9，e 12，e 13}不构成圈的边e 14。这时，剩余的图中不含圈，即得到了一个支撑树，如图所示。

图

4． 某公司打算向承包的三个营业区增设六个销售店，每个营业地区至少增设一个，从各区赚取的利润与增设的销售店个数有关，其数据如表所示。试求各区应分配几个增设的销售店，才能使总利润最大? 其值是多少?

表