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一、证明题

1． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明：

【答案】两次应用洛必达法则得

2． 设

在

上连续，且满足条件

求证：

即

3． 按

(1

) (4

)

. 定义证明：

(2) (5)

(3)

为一常数.

【答案】由条件得

【答案】(1) 由于

故对任意的(2) 不妨设

，只要取则

[’

对任意的

只要取

则当

[时，有

(3) 由于

对任意的(4) 由于

只要取

则当n>N时，有

对于任意的

只要取

故

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则当时，这就证明了

，则当

时

(5) 因为a>l，令

由得对于任给

取则当

时，有

故

4． 设

【答案】

证明

二、解答题

5． 利用微分求近似值：

【答案】（1）令

（2）令由（3）令所以

（4）

6． 将函数

令所以在

上展开成余弦级数.

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则

得

则

则

【答案】将f (x ) 作周期性偶延拓，得一周期为的连续偶函数

.

所以由收敛定理可得在

7． 计算积分

其中D 是

围成的区域.

上

【答案】由题意知，所求的积分为

8． 设函

数

【答案】方法一

方法二当

时，有

故

9． 求由下列曲面所围立体V 的体积：(1) V 是由

(2) V 是由曲面

所围的立体.

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在内满

足且

，计

算

和z=x+y所围的立体；