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一、证明题

1． 设在

上连续

，

证明

【答案】因为

所以

从而

2． 用区间套定理证明确界原理.

【答案】设是非空有上界的数集，b 是S 的一个上界，a 不是S 的上界，显然令

区间

且

令

于是有

且

如此下去，得一区间套由区间套定理知，存在

首先，

其次，

界，故

3． 证明

：

【答案】

因为

是

上的连续函数，且而

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. 于是得

若

是的上界，则取

若不是的上界，则取..

若

是的上界，

则取

若不是的上界，则取，

，其具有性质：不是S 的上界，是S 的上界

且

因而

所以当n 充分大时有

往证

即

是的一个上界.

而不是的上界，所y 不是的上

有因为

存在.

收敛，故由魏尔斯特拉斯判别法可知

在[一1，1]上一致收敛.

对任意的

因为存在.

4． 设正项级数

【答案】因为反之未必成立. 如

收敛，证明

收敛，故

亦收敛；试问反之是否成立？

所以收敛，而

由比较原则可知级数发散.

收敛.

连续，所以

’

在[-1，一 1]上连续，

此

二、解答题

5． 设S

是椭圆面

为点

的上半部分，

点到平面的距离，求

为S 在点P 的切平面

，

【答案】设(X ，Y ，Z ) 为上任意一点，则的方程为

由此易知

由S 的方程

有，

于是

其中

是S 在

平面上的投影.

作极坐标变换容易求出：

6． 求下列函数在指定点的导数：

（1）设

（2）设

（3）设.

【答案】⑴

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求

求

求

（2）

（3）当x>0时，故

为

的定义域的端点，所以在x=0处只能讨论单侧导数

.

所以

7． 计算积分

其中D 是

围成的区域.

不存在.

【答案】由题意知，所求的积分为

8． 设

【答案】

又

9． 求心形线

试验证

并求

所围图形的面积。

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【答案】所围图形的面积为