2017年山西大学数学科学学院632数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设正项级数
【答案】因为反之未必成立. 如
2． 设f 在
【答案】设
上连续收敛，证明
收敛，故
亦收敛；试问反之是否成立？
所以收敛，而证明：存在
中最小者为
最大者为
由比较原则可知级数发散. 使得
则有
若若
理，可以得知存在
3． 设
【答案】根据题意可知
又
所以从而设
4． 若函数
单调递増有上界对
由单调有界定理知极限存在.
两边取极限得
满足恒等式
解得则称
即
为次齐次函数，
或.
对
则取在区间使得证明：极限
存在并求之.
就能满足题中要求.
上应用连续函数的介值性定
收敛.
试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数并解
为2次齐次函数.
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为k 次齐次函数的充要条件是：
【答案】(1) 必要性由令
则有
两边对求导得
充分性设令
由已知，得所以
(2) 因为
求
关于的偏导数得
于是
仅是
令
所以
的函数，记
因此
为2次齐次函数.
二、解答题
5．
求圆的渐伸线
与终点.
【答案】方法一：如图所示：
和连接两个端点：
起点
的直线段AB 所围成图形的面积，并求渐伸线的弧长
图
所围图面积为
方法二：
的面积
即得
方法三：用极坐标. 向径
的极角
的面积，其中
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的面积
为曲线的极坐标方程，为
又
于是
因为
6． 求下列函数的周期：
（1）
（2）
（3）
的周期的周期是的周期
.
和
在
上可积，则
【答案】
因为
所以
若
则即
故
8． 求下列函数在指定点处的泰勒公式：
(1) (2)
在点(0, 0)(到二阶为止) ；
在点(1，1)(到三阶为止) ；
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. 所以弧长为
做
4和6的最小公倍数是12,
故
的周期是
【答案】（1）
（2）由tanx 的周期是可知，（3
）
的周期
的周期是
7． 证明施瓦茨不等式：若
即
等式成立；若上式是关于t 的二次三项式，且非负，
于是有判别式