2017年山西大学数学科学学院632数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设的点集D ,
【答案
】
在xy 平面上的点集E 上一致连续. 与把点集E 映射为
在D 上一致连续. 证明复合函数
因
为只要有又
在E 上一致连续。
使得对一
切
在E 上一致连续，于是
对上述
的
当
故复合函数 2． 设数列数列
与
对一
切其
中
时有
在E 上一致连续.
证明：:
所以
是单调有界数列，故
收敛. 由柯西
由柯西收敛准则知， 3． 设
【答案】所以故
当
=时
，从而
都连续
且
可以用来作为曲线坐标
.
分别对应
平面上坐标曲线
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平面上
在D 上一致连续，所
以
只
要
从
而
就
有对一
切
满足：存在正数M , 对一切n 有都收敛.
又
存在正整数N , 当
时，有
【答案】因为收敛准则知，对任意的
于是
收敛.
时，
可以用来作为曲线坐标，解出
作为
证明：当
的函数；画出平面上所对应的坐标曲线；计算并验证它们互为倒数.
由反函数组定理知，存在函数
组
如图1、2所示
图1 图2
因
而前面已算得
即
互为倒数.
其绝对误差限为
又测得重量’
其绝对误差
4． 测得一物体的体积限为
求由公式
【答案】
算出的比重的相对误差限和绝对误差限.
所以d 的相对误差限为
绝对误差限为
二、解答题
5． 计算：（1）数准确到
【答案】（1）由
取
得
故
解得
取
得
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（2）准确到
当
时，有
6． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义.
【答案】设旋转角与时间的函数关系为
则时刻t 到
而时刻t 的角速度定义为
内的平均角速度为
因此，
7． 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数。
【答案】
是此函数的第二类间断点，但它有原函数
另外，狄利克雷函数
8． 过直线P :
【答案】设
其定义域R 上每一点都是第二类间断点，但
作曲面切点坐标为
曲面在点即
其法向量为
于是有
解之得
故所求的切平面方程为
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无原函数。
的切平面，求此切平面的方程.
则
的法向量为
又过直线T 的平面方程为