2017年湖南工业大学计算机与通信学院601高等数学考研题库
● 摘要
一、填空题
1． 部分和数列
【答案】充要 2． 若函数（f x ）满足方程
【答案】
则特征根为
的通解为
可
知
故
【解析】由题意知，函数f （x ）的特征方程为故齐次微分方程
为任意常数。再
由
得
3． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:
设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.
曲面曲线曲线【答案】（C ）
【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对. 由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）
取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确.
4． 微分方程
【答案】
这是一个齐次型方程，
设
得到通解为
在点在点在点
的一个法向量为
的一个切向量为
的一个切向量为
及
f x ）=_____。 则（
有界是正顶级数
收敛的_____条件。
，，
满足的解为_____。
【解析】
方程的标准形式为
C 为任意常数，再将初始条件
5． 曲线L 的极坐标方程为
【答案】
，则L 在点
代入可得特解为
处的切线方程为_____。
【解析】先把曲线方程转化为参数方
程
则L 在
点
，即
6． 设函
数
可微，
且
，
则。
于是
在处
，
处的切线方程
为
在点（1, 2）处的全微
分
_____。
【答案】
，故
将（1, 2）代入
得
。又
，故
7． 级数
【答案】
收敛的充要条件是a 应满足_____。
【解析】若要求全微分，则需求出函数对各个自变量的偏导。令
【解析】由题意得
当a>0时收敛，当a<0时发散，当a=0时，原级数为
发散，则原级数收
则原级数
敛的充要条件a>0。
8． 函数小值为_____。
【答案】-64 【解析】由
在由直线，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最
得区域D 内驻点（2, 1）。 在边界在边界在边界令则
9． 已知幂级数
【答案】1
【解析】由于幂级数收敛半径为1，因而幂级数
10．通过直线
【答案】z=2
【解析】由于所求平面经过已知直线，故可设所求平面方程为
即
又所求平面与已知球面相切，则球心到所求球面的距离等于该球面的半径2，根据点到平面的距离的计算公式可得
解得
，故所求平面方程为z=2.
且与球面
相切的平面方程为_____。
在x=1处条件收敛，则x=1为该幂级数收敛区间的端点，即其
收敛半径也为1。
，得
，此时在D 上的最大值为
，最小值为
。
上，上，上
； ；
，
。，
在x=1处条件收敛，则幂级数的收敛半径为_____。
二、选择题
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