2017年湖南大学数学与计量经济学院813高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 已知L 是第一象限中从点（0, 0）沿圆周（0, 2）的曲线段，计算曲线积分
【答案】如图所示，设圆现补充有向线段
，圆
：y 轴（y 从2到0）. 由L 与
由格林公式得
又
所以
；再沿圆周到点（2, 0）.
围成的平面区域记为D ，则
到点
图
2． 求曲面
【答案】令在点即
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在点处的切平面及法线方程。 ，则曲面在点
处的一个法向量
处的一个法向量为，故曲面在该点处的切平面方程
法线方程为
3． 设可导函数
满足求。
【答案】在方程
两端关于x 求导，得
即
且在原方程中取
可得
由一阶线性方程的通解公式，得
代入初始条件可得故
4． 以初速v 0竖直上抛的物体，其上升高度s 与时间t 的关系是:
，求:
（1）该物体的速度v （t ）; （2）该物体达到最高点的时刻。 【答案】（1）
（2）物体达到最高点的时刻v=0，即，故
。
5．
设
其中a , b 为常数，
（1）试导出f （x ）满足的微分方程； （2）证明：
【答案】（1）由题意得
由
，得
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又
设
（2）令
故
即g （x ）满足微分方程①，又
故g （x ）也满足初始条件②。 因此
，即
。
6． 求下列函数的偏导数：
【答案】
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