2017年湖南大学数学与计量经济学院813高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设函数f （x ）和g （x ）可导，且
【答案】
2． 把积
分
表为极坐标形式的二次积分，其中积分区
域。
【答案】积分区域D 如图所示。抛物线y=x的极坐标方程为坐标方程为
，用射线
和
将D 分成
三部分
2
，试求函数的导数。
，直线y=1的极
图
因此
3． 求球面
含在圆柱面
内部的那部分面积。
。
【答案】如图所示，上半球面的方程为
由曲面的对称性得所求面积为
图
4． 计算半立方抛物线
被抛物线
截得的一段弧的长度。
【答案】联立两个方程得到两条曲线的交点为和，由于曲线关于
x 轴对称，因此所求弧段长为第一象限部分的2倍，第一象限部分弧段为
，故所求弧的长度为
，
5． 一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.
【答案】如图8-5所示，己知AB=a，故OA=OB=
a ，于是各顶点的坐标分别为
6． 设有一分布着质量的曲面，在点（x ，y ，z ）处它的面密度为面积分表示这曲面对于x 轴的转动惯量。
，用对面积的曲（x ，y ，z ）
，【答案】设想将分成n 小块，取出其中任意一块记作dS （其面积也记作dS ）（x ，y ，z ）为dS 上一点，则dS 对x 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分，即得对x 轴的转动惯量为
7． 在y 轴上求与点A （l ，﹣3，7）和点B （5，7，﹣5）等距离的点.
，由
【答案】根据题意，设所求点为M （0，y ，0）
得y=2.故所求点M （0, 2, 0）.
8． 求椭球面
【答案】
设
上平行于平面
。已知平面的法向量为
所求切平面平行，得
代入椭球面方程得
解得
，则
，
。所以切点为
的切平面方程。
，
则曲面在点
处的一个法向量，由已知平面与
，即