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一、证明题

1． 证明:若函数f 在点x 0处有

【答案】假设存在由

于是此时有

2． 证明:点列时

,

故从而

同理

充分性 设因此

故点列

3． 设级数

收敛于收敛，证明

也收敛. 则对任给

存在N , 当n>N时,

即

. 取

使得当

, .

时有可知, 存在

, 则当

,

的充要条件是收敛

于. , 由

, 于是此时有, 使得当

时,

时有,

时, x 0为f 的极小值点. 和侧对任给

的

存在N , 当n>N

,

, 则x 0为f 的极大（小）值点.

及极限的保号性知,

;

,

故x 0为f 的极大值点. 同理可证, 当

收敛于

【答案】必要性 设点

列

【答案】因为

又

4． 设

及

收敛，故

, 证明函数

在D 上不可积.

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收敛，所以由比较原则得收敛.

【答案】对D 上任意分割, 若在每个取点

, 使. 皆为有理数, 则

若在每个

取点在（当

,

使为非有理点,

则

因此的极限不存

时）. 即f （x , y ）在D 上不可积.

二、解答题

5． 求

（a 为常数）.

时,

（2）当

时,

故

6． 求下列不定式极限:

【答案】（1）当

【答案】 （1）

（2）

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（

3）因为

所以

（

4）因为

所以

（5）

（6）

（7）

,

第

4

页，共

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