2018年西安科技大学计算机科学与技术学院612数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ，y ）可微，证明:在坐标旋转变换
是一个形式不变量，即若
则必有【答案】
（其中旋转角0是常数）.
故
2． 设f （x ）在[0, 1]上连续，证明
【答案】令t=x则
因f （x ）在[[0, 1]上连续，故
，记
，
使得
n
之下，
.
，
，不妨设0 因f （x ）在[0, 1]上连续，故f （x ）在[0, 1]上一致连续，故对上述的正数’当 且 时，有 第 2 页，共 26 页 ， 因当 ，记 时，有 ，则存在正整数N 使得当n ＞N 时，有，从而当n ＞N 时，有 ； 由（3）和（7）知，当n ＞N 时，有 综上，即证得 3． 证明 在 上一致连续. , 由, 任取 , 且 在 , 设 , 则有 由 故f （x ）在 , 得 于是, 取上一致连续 . , 则当 4． 区间上的连续函数如果在任何有理点为零, 证明:此函数恒为零. 【答案】利用连续函数的局部保号性. 设函数为在有理点列 使得 可以证明对于任意的无理点, 函数值都为零, 对于区间上的任意无理点 则由函数的连续性可知 第 3 页，共 26 页 【答案】（1）证法一: 定理知, f （x ）在[0, 1]上一致连续. 对 对任给的知, f （ x ）在 （2）证法二:设 , 可取 , 只要 在 [0, 1]上连续, 据一致连续, 有 , 就有 上一致连续. 由定义 上一致连续 , 综上 , 可知 时, 有 存 即证得在任意的无理点处函数值都为零. 又由己知函数在任何有理点为零, 故此函数恒为零. 二、解答题 5． 求由曲线 与直线 , , 所围图形的面积. 【答案】该平面图形如图所示. 所围图形的面积为 图 6． 验证下列线积分与路径无关, 并计算其值: （1）（2） 【答案】（1）因 所以所给路曲线积分与路径无关, 从而 （2）因 所以所给曲线积分与路径无关, 且 由于 7． 设 【答案】由于 和求dz. 可微，故 第 4 页，共 26 页 , 其中 在球面 上. 在球面上, 所以原式=0.
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