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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且

试证:（1）【答案】（1）令（2）将结论中换成x

:即

亦即

,

或

由此可见, 令

, 对F （x ）在

上应用罗尔定理即可.

c c

2． 证明:开集与闭集具有对偶性--若E 为开集, 则E 为闭集；若E 为闭集, 则E 为开集.

【答案】（1）设E 为开集, 假设E 不是闭集, 则由闭集定义知, E 中至少有一个聚点不属于E 设这个聚点为A , 则必有

c

c

c

c

.

使

, 使

; （2）对任意实数必存在

. 对F （x ）在

上应用根的存在定理即可.

, 使因为E 为开集, 所以存在点A 的某邻域U （A ）

c

c

因此, U

（A ）中不含有E 中的点, 这与A 是E 的聚点矛盾, 因此, 若E 为开集, 则E 为闭集.

c c c

（2）设E 为闭集, 假设E 不是开集, 由开集定义知E 中至少有一个点不是E 的内点, 设这个

点为B , 则 根据内点的定义知, 对点B 的任何邻域U （B ）都有U （B ）不含于E 即U （B ）中含有E 中的点, 因此, B 为E 的聚点, 但与

3． 证明:设则

在D 上一致收敛于f. 【答案】因为任意

故所以

及

又

时, P 0是E 的聚点.

时,

则对任给的

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c

是闭集矛盾, 因而, 若E 为闭集, 则E 为开集. , 若对每一个正整数n

有

故

,

c

, 有

4． 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列

【答案】充分性

若存在时, 有

总存在N , 使得n ＞N

当充分大时, 这说明P 0是E 的聚点.

含有的无穷多个点, 又

从而中含有E 中无穷多个点,

则

中

必要性 若P 0是E 的聚点, 则对任给的含有E 中的点, 取出一个, 记为P 1.

取

则

中必含有E 中的点, 取

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P 2. 依此类推, 取

则

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P n. 易见

且

这样继续下去, 得到一个各项互异的点列

二、解答题

5． 计算下列二重积分:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

【答案】（1）原式=

（2）曲线:y=x将区域D 分为两部分D 1和D 2, 所以

（3）所以

（4）积分区域为D :数, 所以

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2

, 其中D :, 其中

, 其中

其中D :►其中D :

.

.

, 其中在D 1内

. 在D 2内

,

, 其中, _.

, D 关于x 轴对称, 而函数’关于y 是奇函

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从而原式=令

原式

, 则

•

•,

所以

（

5）方法一 积分区域关于直线y=x对称, 所以

故

方法二 作变换x+y=u

, x—y=v, 则D 变为

于是

, 所以

（6）积分区域关于y=x对称, 所以

于是

故

6． 设a

【答案】方法一:由配方得到

*

其中原式

第 4 页，

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.

. 作变量代换, 则有