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一、证明题

1． 证明:f （x ）为区间I 上凸函数数.

【答案】

:

及

, 由f （x ）的凸性知

所以有

即

故f （x ）为I 上的凸函数.

2． 证明:若f 在[a, b]上连续, 且

, 又若

【答案】假设对任意的

, 使与

均有

, 则在（a , b ）上至少存在两点

, 这时f 在（a , b ）上是否至少有三个零点？

f x ）, 则由连续函数根的存在定理知, （在（a , b ）或

, 这与

矛盾. 故至, 使

为[0, 1]上的凸函数

.

..

及

, 因为函数

为[0, 1]上的凸函数, 所以

函数

为[0, 1]上的凸函

内恒正或恒负. 于是,

根据积分不等式性质有

少存在一点

且f （x ）在

假设f （x ）在（a , b ）内只有一个零点则

每个区间内不变号（根据连续函数根的存在定理）. 故有

在两边也异号. 所以

在两边同号,

但

由此知f （x ）在两边异号. 又函数

即g （x ）在（a , b ）内除一个零点外恒正或恒负, 从而由g （x ）的连续性可得

矛盾. 故在（a , b ）内至少存在两点, 在（a , b ）内至少存在三个零点

假设在（a , b ）内只两点

,

, 使得

, 则

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, 使得下证若则f （x ）

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即, 且f （x ）在每个区间内不变号. 从而由

推广的积分第一中值定理, 结合上式, 得

即

, 其中

, 所以由上式知,

f x ）从而知（在在

. 考虑函数内符号分别为正、负、正（其他情况证明类似）

内的符号分别为正、负、正, 故h （x ）在

但

矛盾. 可见在（a , b ）内至少有三个点

3．

设

在

上连续,

绝对收敛, 证明:

【答案】因为因为

绝对收敛, 当n 足够大的时候

由于

的任意性,

所以命题成立.

4．

设{an ）为实数列, 它满足不等式

【答案】由条件

知

将以上各式乘2后相加得

第 3 页，共

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. 因为 与由于

每个区间内恒异号,

f x ）f x ）

两边异号, 同理可证（在两边也异号, 设（

在区间

正. 又h （x ）是连续函数

, 所以

使得

连续,

所以当n 足够大的时候

,

, 又级数收敛. 证明:

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因为级数同理

收敛, 所以. , 由迫敛性知'

于是

,

故

二、解答题

5． 求函数向导数.

【答案】易见u 在点（1,

1，2）处可微，故由

得

6． 对n 次多项式进行因式分解

从某种意义上说, 这也是一个反函数问题

, 因为多项式的每个系数都是它的, n 个根的已知函数, 即

要得到用系数表示的根, 即

试对n=2

与n=3

两种情况,

证明:当方程

无重根时, 函数组①存在反函数组②.

因为

无重根, 所以

所以由定理可知函数组①存在反函数组②. （2）当n=3时, 由于

所以

又

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在点（1

，1，2）处沿方向1（其方向角分别为，，）的方

【答案】（

1）当n=2时, 由韦达定理（根与系数的关系）有