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一、证明题

1． 证明定理及其推论.

【答案】用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把V 分成有限个小长方体

设和分别是f （x , y , z ）在上的上、下确界. 对于

上任一点, 在

上有

按下标j 与k 相加, 则有

及

由于f （x , y , z ）在V 上可积, 当上可积, 且

2． 若在区间I 上, 对任何正整数n ,

证明:当【答案】因为及任意

在I 上一致收敛时, 级数有

从而由

, 得

所以, 由柯西准则知, 级数

3． 证明公式

【答案】

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时, 上式两端的极限存在且相等, 这说明I （x ）在[a, b]

在I 上也一致收敛.

总存在N>0, 使得当n>N时,

对任意

在I 上一致收敛, 故对任给的

在I 上一致收敛.

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4． 证明:开集与闭集具有对偶性--若E 为开集, 则E c 为闭集；若E 为闭集, 则E c 为开集.

c c

【答案】（1）设E 为开集, 假设E 不是闭集, 则由闭集定义知, E 中至少有一个聚点不属于

E c 设这个聚点为A , 则必有

c

, 使因为E 为开集, 所以存在点A 的某邻域U （A ）

c

c

因此, U

（A ）中不含有E 中的点, 这与A 是E 的聚点矛盾, 因此, 若E 为开集, 则E 为闭集.

c c c

（2）设E 为闭集, 假设E 不是开集, 由开集定义知E 中至少有一个点不是E 的内点, 设这个

点为B , 则 根据内点的定义知, 对点B 的任何邻域U （B ）都有U （B ）不含于E 即U （B ）中

含有E 中的点, 因此, B 为E 的聚点, 但与

是闭集矛盾, 因而

, 若E 为闭集,

则E 为开集.

c

c

二、解答题

5．

确定正数

使曲面

【答案】

设两曲面在点

与椭球面

相切,

则曲面

在某一点相切（即在该点有公共切平面）.

在点

的切平面

应为一个平面, 所以

即

又从而

故所求的正数

6．

求下列不定积分:

（1）由于

在

（

2）

时,

上连续, 故其原函数必在

, 当

即

, 因此

, 所以

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与椭球面在点的切平面

, 所以

【答案】（1）当时,

连续可微. 因此

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（

2）当当. 由于

在

时, 时,

上连续,

故其原函数必在

上连续可微. 因此,

即

, 因此

.

所以

7． 计算下列积分:

【答案】被积函数

其中D 1

, D 2, D 3和D 4见图.

8． 求曲面az=xy包含在圆柱

【答案】设曲面面积为S. 由于

内那部分的面积.

所以

9． 写出下列级数的乘积:

（1）（2）

, 其中D 为. 应用广义极坐标变换,

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