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一、证明题

1． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

2． 证明公式

其中

因为

的特征函数, 由唯一性定理知

, 且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

【答案】为证明此公式, 可以对积分部分施行分部积分法, 更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导, 证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出_

而对

k=0.

对

其和前后项之间正好相互抵消, 最后仅留下一项,

也为

明了两者导函数相等, 并注意到两者在p=l时都为0, 等式得证.

3． 设都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是

（2）有界性. 对任意的x ，有

且

（3）右连续性.

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这就证

都是分布函数，故当

时，有

4． 设

则

为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.

的方差一致有界, 即存在常数c 使得

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知

5． 设

服从大数定律.

是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是的无偏估计.

是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是p （1-p ）的一个无偏估计.

是1/p的无偏估计，则有

或者

上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.

6． 设是来自的样本, 为其次序统计量, 令

证明【答案】令作变换

其中

其雅可比行列式绝对值为

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相互独立.

则

的联合密度函数为

, 联合密度

函数为

该联合密度函数为可分离变量, 因

而

7． 设

是来自两参数指数分布

的样本, 证明（

）是充分统计量.

相互独立,

且

【答案】由已知, 样本联合密度函数为

令

, 由因子分解定理,

是

的充分统计量•

个

8． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为

【答案】

设事件设

则显然有

则由全概率公式得

下用归纳法证明.

为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，

记

把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有

类似有

所以代入（1）式得

由归纳法知结论成立.

二、计算题

9． 设曲线函数形式为y=a+blnx，试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.

【答案】令u=lnx，v=y，则原曲线函数化为V=a+bu，即为一元线性回归的形式.

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