2017年青岛大学自动化工程学院619概率论及数理统计(1)考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
（1）（2）（3）
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
由此可推测。当用样本的凸组合
从而
的有效性最差.
则
估计总体均值时，样本均值是最有效的。
2 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以
可分离变量, 即U 与V 相互独立.
3． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 有相同的边际密度函数. 4． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明： 【答案】 将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得 第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得 这两个积分之和恰好是所要求证明的等式. 5． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明： （1）（2） 【答案】（1）由于存在，所以该级数绝对收敛，从而有 （2） 6 来自正态总体．对称, 且 【答案】记正态分布的样本中位数 的密度函数为 的容量为 的样本中位数是 证明 的密度函数关于 f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（ 令此变换的雅可比行列式的绝对值于是y 的密度函数为 其中可得 与 分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质 这表明密度函数 与E 7． 设随机变量序列证: 【答案】己知则 是偶函数, 从而g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有 独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且 试 对任意的 由切比雪夫不等式得