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一、证明题

1． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

2． 若

【答案】因为

证明

：

所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得

结论得证.

3． 设连续随机变量

独立同分布, 试证:

【答案】设诸而事件

从而该事件的概率为

若记诸

的分布函数为

则上式积分可化为

4． （格涅坚科大数定律）设

是随机变量序列, 若记

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所以

的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.

则服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当

时, 有

因此有

所以当再证必要性. 设有

因为函数

时, 有

服从大数定律, 即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N , 当, 得

由于的任意性, 所以

5． 设由

可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证

时,

明：样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为

即

将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有

证明完成.

6． 任意两事件之并

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

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（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

7． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.

【答案】

对任意的点

:

则有

（1）

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

由（1）, （3）式可得

即有

, 结论得证.

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

8． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为

所以

即X 与Y 不相关.

必存在某个i , 使得

由（2）式知,

取M 充分大,

使有当

使有

时,

有

再令

当

时,

有

,

对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:

在

上一致收

二、计算题

9． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求E （Y/X）. 【答案】

10设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本, 其样本方差分别为．求

【答案】不妨设正态总体的方差为

则有

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试

, 于是.