2017年青岛大学自动化工程学院619概率论及数理统计(1)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证
【答案】
2． 设
是来自
的样本，α＞0已知，试证明，
是
于是
所以λ的费希尔信息量为
这就是说
的任一无偏估计的C-R 下界为
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
3． 设总体为如下离散型分布
表
是来自该总体的样本.
（1）证明次序统计量（（2）以必有
于是, 对任一组并
满足
中有个
有
表示
【答案】（1）给定（
）是充分统计量；
中等于的个数, 证明（
）的取值
设
）是充分统计量.
中有个
可以为0, 但
的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为
该条件分布不依赖于未知参数, 因而次序统计量（（2）因为给出（这只要通过令即可实现（这里默认因此,
是充分统计量. 1与
,
）,
是一一对应的,
）就可算得（
, 反之, 给出）
,
,
也可构造出（
, ）
）是充分统计量.
4． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
5． 若
【答案】由
试证
：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
6． 设A ，B 为任意两个事件，且
【答案】
7． 若
【答案】因为
证明
：
所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得
结论得证.
8． 设UMVUE.
满足
分别是
的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是
的UMVUE , 故
且对任意一个于是
因此
是
的UMVUE.
是
的
则
成立.
【答案】由于
由判断准则知
二、计算题
9． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布Be （2, 200），求的后验分布.
n-x+200）. 这里n=100, x=3, 【答案】根据不合格品率的共轭先验可知，的后验分布为Be （x+2，所以，的后验分布为Be （5, 297）.
10．设随机变量X 服从伽玛分布Ga （2，0.5），
试求
【答案】伽玛分布
的密度函数为
由于
因此所求概率为
相关内容
相关标签