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2017年青岛科技大学数理学院863概率论与数理统计考研仿真模拟题

  摘要

一、证明题

1. 设

【答案】若

, 证明:

服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

上是严格单调增函数, 其反函数

Z 的密度函数为

整理得

这说明Z 服从贝塔分布

, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.

都服从区间(0,1)

2. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布,试证

:上的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

,且的可能取值范围是(0,1)

所以

是严格单调减函数,其反函数为

的密度函数为

3. 设总体

【答案】令

也服从区间(0,1)上的均匀分布. 结论得证.

是样本,θ的矩估计和最大似然估计都是,它也是θ的相合

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估计和无偏估计,试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

对上式求导易知,当

时上式达到最小,最小值为

它小于的均方误差

4. 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数

.

【答案】因为当

时, 有

又因为当0

所以

5. [1]设随机变量

[2]设

【答案】利用变换

有相同的边际密度函数.

,求

,证明:

及偶函数性质可得

[2]在题[1]中令

即可得结论.

6. 验证:正态总体方差(均值已知)的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

,其密度函数为

则的后验分布为

,其中已知,

为其样本,取

的先验分布为倒伽

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值已知)的共轭先验分布.

7. 设存在, 试证:

【答案】因为离散场合,

时, g (y )以概率

. 取

由于在Y 取固定值时,

上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E (h (Y )|Y)=h(Y ).

8. 设是来自泊松分布

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般

也是常数, 故有

是随机变量Y 的函数, 记

这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差(均

, 它仍是随机变量. 在

的一个样本.

(1)利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题

在显著性水平为时给出其拒绝域;

(2)证明(1)中的拒绝域也是如下检验问题

的显著性水平为的显著性检验的拒绝域;

(3)在样本量n 较大时,利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】(1

)泊松分布

的充分统计量是,

它是的无偏估计.

若原假设

成立,

则不应该很大,因此,当较大时,就应该拒绝原假设

所以此检验的拒绝域应有如下形式

其中c 应由给定的显著性水平确定,即c 由下列概率不等式确定

由于原假设成立下

则由

可得

不是一件易事.

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若令泊松分布

分位数为这里

的寻求还

所以在给定理时,

该检验的拒绝域为