2017年青岛科技大学数理学院863概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1. 设
【答案】若
, 证明:
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在
上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
都服从区间(0,1)
2. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布,试证
:上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
,且的可能取值范围是(0,1)
所以
是严格单调减函数,其反函数为
的密度函数为
即
3. 设总体
【答案】令
又
由
知
也服从区间(0,1)上的均匀分布. 结论得证.
是样本,θ的矩估计和最大似然估计都是,它也是θ的相合
则
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估计和无偏估计,试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
对上式求导易知,当
时上式达到最小,最小值为
它小于的均方误差
4. 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 5. [1]设随机变量 [2]设 【答案】利用变换 有相同的边际密度函数. ,求 ,证明: 及偶函数性质可得 [2]在题[1]中令 即可得结论. 6. 验证:正态总体方差(均值已知)的共轭先验分布是倒伽玛分布. 【答案】设总体玛分布 ,其密度函数为 则的后验分布为 ,其中已知, 为其样本,取 的先验分布为倒伽 第 3 页,共 45 页 即 值已知)的共轭先验分布. 7. 设存在, 试证: 【答案】因为离散场合, 当 时, g (y )以概率 . 取 由于在Y 取固定值时, 上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E (h (Y )|Y)=h(Y ). 8. 设是来自泊松分布 . 在连续场合也有类似解释, 所以在一般 也是常数, 故有 是随机变量Y 的函数, 记 这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差(均 , 它仍是随机变量. 在 的一个样本. (1)利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题 在显著性水平为时给出其拒绝域; (2)证明(1)中的拒绝域也是如下检验问题 的显著性水平为的显著性检验的拒绝域; (3)在样本量n 较大时,利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】(1 )泊松分布 的充分统计量是, 它是的无偏估计. 若原假设 成立, 则不应该很大,因此,当较大时,就应该拒绝原假设 所以此检验的拒绝域应有如下形式 其中c 应由给定的显著性水平确定,即c 由下列概率不等式确定 或 由于原假设成立下 则由 可得 不是一件易事. 第 4 页,共 45 页 故 若令泊松分布 的 分位数为这里 的寻求还 所以在给定理时, 该检验的拒绝域为