2017年青岛大学自动化工程学院619概率论及数理统计(1)考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：对正态分布
若只有一个观测值，则
的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在.
2． 证明:若
时趋于
这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，
从而
的最大
则对有
并由此写出与
其
中
【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示
为
且u 与v 独立, 从而有
由于
将两者代回可知, 在
时, 若r 为奇数, 则
若r 为偶数, 则
证明完成. 进一步, 当r=l时
, 时,
3． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时，
存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
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（此时要
求否则方差不存在）.
否则均值不存在）, 当r=2
（此时要求
4． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明：Y 服从参数为
5． 任意两事件之并
的泊松分布.
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
6． 设随机向量（
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
7． 设0 【答案】由条件 得 第 3 页，共 45 页 ）间的相关系数分别为且 【答案】充分性:若 两两不相关. 两两不相关, 则由上面的推导可知 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 8． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下: 其中参数 （1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若 【答案】（1）因为 时, 记Y=X, 试证 的密度函数为 y 的特征函数为 下证柯西分布的可加性, 设 , 由此得服从参数为 的特征函数 的柯西分布, 其密度函数为 若 与 相互独立, 则 的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知, 的柯西分布. （2）当所以 由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由（3 ）设得: 即 的特征函数为 不能推得X 与Y 独立. , 由相互独立性 都服从参数为的柯西分布, 则特征函数为 时有 , , 服从参 常记为 且利用此结果证明柯西分布的可加性； , 但是X 与Y 不独立； 与同分布. 相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证: 这正是参数为数为 与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布. 二、计算题 9． 甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球. 每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋. 求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率. 【答案】设事件且 所以由全概率公式得 第 4 页，共 45 页 为“第i 次交换后黑球仍在甲口袋中”，记 则有