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一、解答题

1． 叙述函数极限

对任何含于（2）证明如下:则有由归结原则知

2． 分别用梯形法和抛物线法近似计算

【答案】（1）梯形法（取n=10）

（2）抛物线法（取n=10）

3． 计算

【答案】令

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的归结原则, 并应用它证明

内有定义,

的数列内有定义. 且不存在.

但极限

且趋于在

不存在

存在的充要条件是: 都存在且相等.

【答案】（1）归结原则设f 在

（将积分区间十等分）.

4． 若L 是平面上的闭曲线, 它所包围区域的面积为S , 求

,

其中L 依正向进行. 【答案】因

故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得

5． 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数:

（1）只在（2）只在（3）只在【答案】 （1）（2）（3）（4）

和三点不连续的函数 和二点连续的函数；

上间断的函数；

（4）只在x=0右连续, 而在其他点都不连续的函数.

6． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？

【答案】设（1）若

为f （x ）在区间上的第一类间断点, 则分两种情况讨论.

内由拉格朗日中值定理有

这与

为可去间断点是矛盾的, 故F （x ）不存在.

为跳跃间断点.

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为可去间断点.

, 在和x 之间. 而

反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则在

（2）若

反证法:若f （x ）在区间上有原函数F （X ）, 则亦有

成立. 而

这与

为跳跃间断点矛盾, 故原函数仍不存在.

二、证明题

7． （1）设数列

为正的单调递减数列, 且

收敛, 证明:

收敛, 证明:

存在, （2）设数列

为正的单调递减数列, 且

【答案】（1）因为由

收敛, 可知必有

为正的单调递减数列, 由单调有界定理得

对任意存在正整数W , 使得对任意正整数p ,

在上式中, 令取极限, 则得

由的任意性, 则得

显然故有（2）因为由

为正的单调递减数列, 由单调有界定理知

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存在,

收敛, 可知必有