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一、证明题

1． 设

和

为正项级数，且存在正数收敛，则级数

时

，

对一切

证明:若级数【答案】由题意

也收敛；若，从而

又因为改变有限项不改变级数的敛散性，所以由比较原则， 若级数

2． 设正项级数

（1）（2）在

发散.

用分点

及

单调性, 得

从而

当

时,

, 即得结论.

因单调下降且趋于0, 及

发散. , 使

,

有

故由收敛原理知

发散.

于是对

’,

分成无限个小区间,

上, 由

发散,

, 令

, 求证:

收敛，则级数

也收敛；若

发散，则

发散.

发散，则

也发散.

，有

【答案】（1）把

（2）方法一:我们考虑级数故级数

收敛, 于是由第（1）小题推出级缴

, 所以

方法二:因对任意固定的n ,

3． 证明:若

【答案】已知. 因为

与f y （x , y ）在矩形域D 上有界, 则f （x , y ）在D 上一致连续.

与

在D 上有界, 即

有

有点

其中在x 1与x 2之间,

在y 1与y 2之间, 于是当

4． 证明:曲面

可微, 常数a , b , c 不同时为零.

【答案】记

时有

, 取,

, 即f （x , y ）在D 上一致连续.

,

上任意一点的切平面都与某一定直线平行, 其中函数F 连续

则

于是曲面

n 与某直线方向向量或

于是当l 1, l 2, l 3 满足

时恒有

取1=（b , c , a ）,

上任一点的法向量为

垂直当且仅当

即

则曲面 F （ax —bz , ay—cz ）=0 上任一点的切平面与l 平行.

二、解答题

5．

一物体在某介质中按

【答案】

其中

,

.

, 故

6． 求下列函数的麦克劳林级数展开式:

（1）（2）.

得

作直线运动, 介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x=0

移至x=a时克服介质阻力所作的功.

【答案】（1）

设

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又

所以

〔2）

故

7． 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛, 则求其值:

（1）（4

）（7）

【答案】（1）

（2）

; （2）

（5）

（8）

（3）

;

（6）

; ;